Mittelineaarne dünaamika (LOFY.04.070)

Kursuse läbiviimine 2020/2021 kevadsemestril

Asukoht

Loengud ja lõpuseminar toimuvad veebis BigBlueButtoni keskkonnas. Loenguid salvestatakse. Salvestused ilmuvad sama aadressi all, mõni aeg pärast loengut.

Toimumisaeg

Loengud toimuvad teisipäeviti kell 10:15-11:45. Semestri viimasel teisipäeval, 25. mail, toimub loengu asemel üliõpilaste seminar.

Eksami sooritamine ja hinde kujunemine

Kursuse hinne koosneb kolmest osast:

Teemad

  1. Sissejuhatus
  2. Pidevad dünaamilised süsteemid
  3. Matemaatiline vahepala maatriksitest
  4. Diskreetsed dünaamilised süsteemid
  5. Kaos
  6. Fraktalid

Õppematerjalid

Jupyteri töölehed

Aktiivse sisu Jupyteri formaadis vaatamiseks on vajalik Jupyteri keskkond, mida saab alla laadida Jupyteri kodulehelt. Samuti kasutatakse SciPy pakette SymPy, NumPy ja Matplotlib. Kõige lihtsam on neid kasutada TÜFI Jupyter Hubi keskkonnas, kuhu saab sisse logida TÜ keskse kasutajatunnusega.

Teema Jupyteri tööleht NBViewer HTML
Üldised näited
Mittelineaarse Pohli ringpendli simulatsioon Exm_PohlChaos.ipynb Exm_PohlChaos.ipynb Exm_PohlChaos.html
Mittelineaarse matemaatilise pendli simulatsioon Exm_Pendulum.ipynb Exm_Pendulum.ipynb Exm_Pendulum.html
Mittelineaarse ostsillaatori simulatsioon Exm_ResChaos.ipynb Exm_ResChaos.ipynb Exm_ResChaos.html
Logistiline kujutus Exm_LogMap.ipynb Exm_LogMap.ipynb Exm_LogMap.html
Pidevad dünaamilised süsteemid
Mõisted pidevate dünaamiliste süsteemide kohta Cont_Notions.ipynb Cont_Notions.ipynb Cont_Notions.html
1-mõõtmeline dünaamiline süsteem Cont_OneDim.ipynb Cont_OneDim.ipynb Cont_OneDim.html
Lineaarne kahemõõtmeline süsteem ja tema püsipunktid Cont_TwoDimFix.ipynb Cont_TwoDimFix.ipynb Cont_TwoDimFix.html
Üldine N-mõõtmeline lineaarne süsteem Cont_NDimLin.ipynb Cont_NDimLin.ipynb Cont_NDimLin.html
Mittelineaarse süsteemi püsipunktid Cont_Jacobi.ipynb Cont_Jacobi.ipynb Cont_Jacobi.html
Perioodilised trajektoorid ja piirtsüklid Cont_PeriLim.ipynb Cont_PeriLim.ipynb Cont_PeriLim.html
Poincare kujutus ja lõige Cont_Poinc.ipynb Cont_Poinc.ipynb Cont_Poinc.html
Diskreetsed dünaamilised süsteemid
Lyapunovi eksponent Disc_Lyap.ipynb Disc_Lyap.ipynb Disc_Lyap.html
Kaos
Determineeritud kaos Chaos_Det.ipynb Chaos_Det.ipynb Chaos_Det.html
Kolmogorovi entroopia ja informatsiooni kadu Chaos_Kolm.ipynb Chaos_Kolm.ipynb Chaos_Kolm.html
Kaose klassikalised näited Chaos_Classical.ipynb Chaos_Classical.ipynb Chaos_Classical.html
Fraktalid
Klassikalised fraktalid ja sarnasusdimensioon Fract_Similar.ipynb Fract_Similar.ipynb Fract_Similar.html
Fraktaalsed atraktorid ja Minkowski-Bouligandi dimensioon Fract_Box.ipynb Fract_Box.ipynb Fract_Box.html
Newtoni meetod ja fraktaalsed basseiniääred Fract_Newton.ipynb Fract_Newton.ipynb Fract_Newton.html
Mandelbroti hulk ja Julia hulgad Fract_Mandel.ipynb Fract_Mandel.ipynb Fract_Mandel.html

Konspektid

Teised materjalid

Videod

Koduülesanded

Pidevad dünaamilised süsteemid

  1. Valige dünaamilist süsteemi. Süsteem peab olema mittelineaarne ja vähemalt kahemõõtmiline. Lisaks peab tal olema vähemalt kaks püsipunkti. (2 p.)
  2. Uurige oma süsteemi ja leidke vähemalt kaks püsipunkti. (2 p.)
  3. Arvutage Jacobi maatriksi nii üldises faasiruumi punktis kui püsipunktides. (3 p.)
  4. Leidke Jacobi maatriksi omaväärtusi püsipunktides ja iseloomustage püsipunktide stabiilsust. (4 p.)
  5. Joonistage faasiportree, mis näitab ka püsipunkte, ja seletage, kuidas eelnevalt leitud püsipunktide stabiilsus ilmneb faasiportrees. (4 p.)

Tähtaeg: 7. märts 2021 kell 23:59

Diskreetsed dünaamilised süsteemid

  1. Valige endale diskreetset dünaamilist süsteemi \(x_{n + 1} = c \cdot f(x_n)\), mis rahuldab tingimusi: (2 p.)
  2. Arvutage Lyapunovi eksponenti \(\lambda\) parameetri vahemikus \(c \in [0, 1]\) ja joonistage \(\lambda(c)\). (3 p.)
  3. Joonistage Feigenbaumi diagrammi ja selgitage lühidalt seost Lyapunovi eksponendiga. (4 p.)
  4. Leidke esimest 6 ülistabiilset punkti \(s_1, \ldots, s_6\) ja vastavaid \(\delta_n = \frac{s_{n + 1} - s_n}{s_{n + 2} - s_{n + 1}}\). (4 p.)
  5. Mis parameetri \(c\) väärtuses toimub üleminek kaosesse? (2 p.)

Tähtaeg: 4. aprill 2021 kell 23:59

Kaos

  1. Valige endale 3-mõõtmelist dünaamilist süsteemi, mis sõltub vähemalt ühest parameetrist. Näiteks: (3 p.)
  2. Uurige ja kirjeldage süsteemi käitumist sõltuvalt ühest parameetrist. Kui süsteemil on mitu parameetrit, varieerige ainult ühte, ja hoidke ülejäänud parameetrid konstantsena. (4 p.)
  3. Joonistage süsteemi trajektoore 3-mõõtmelises ruumis erinevate parameetri väärtuste puhul ja kirjeldage, kas trajektoor on perioodiline, kaootiline, koondub püsipunktile… (5 p.)
  4. Otsige parameetri väärtusi, kus toimuvad käitumise kvalitatiivsed muutused - näiteks bifurkatsioonid / perioodi muutused, atraktori stabiilsuse muutused, üleminek kaosesse - ja kirjeldage oma tulemusi. (3 p.)

Tähtaeg: 2. mai 2021 kell 23:59

Fraktalid

  1. Valige fraktali, mis asub kahe või kolmemõõtmelises ruumis. (2 p.)
  2. Selgitage, kuidas teie valitud fraktal on konstrueeritud. Kas valitud fraktal on diskreetse dünaamika atraktor, pideva dünaamika atraktor, itereeritud funktsioonisüsteem, lõpmatu hulkade jada piirväärtus, atraktiivsuse basseini äär vms? Lisage andmeid (võrrandeid, programmi), millega on võimalik valitud fraktali konstrueerida. (3 p.)
  3. Joonistage oma fraktali. (5 p.)
  4. Põhjendage, miks teie valitud fraktal on fraktal. (5 p.)

Tähtaeg: 30. mai 2021 kell 23:59